現役塾講師こうのつぶやき

進学塾、個別指導塾、家庭教師の経験をもとに、指導のあり方、勉強の仕方、教育方法について思うことをつぶやいていきます!

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【入試前に解いてほしい数学過去問解説】2018山形県公立高校入試問題~大問4の1「相似の証明」~

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2018山形4_1

公開日2019/11/1




どうも、塾講師のこうです。

解説画像だけでなく、

解き方の流れ、考え方 

 もお伝えしていきます。

 

解説の言っていることは分かるんだけど、そんな風に解けないんでよねって人多いですよね。そんな声に応えるために、僕の普段解いているときに考えている流れをなるべく再現していきたいと思います。

 

僕自身、勉強は苦手で、努力でこれまで乗り切ってきました。だから、勉強の苦手な人こそ分かりやすい内容になっているのではないかと思います。

 

また、解説内容に関してまだまだ改良の余地はあると思っていますので、どんどん良いものになるように頑張っていきたいと思います。

 

 

2018全国公立高校入試問題「数学が苦手な人のための解説まとめ」も日々更新中♪

www.jukuteacher.com

 

 

 

 

 

 

山形県の数学の難易度

大問3の2

標準問題

 

《大阪の受験生向け》

◎A問題採用校受験予定の方

証明問題とか無理って人は飛ばしましょう。

まず、計算問題を確実に正解できるようにしてください。

 

◎B問題採用校受験予定の方

この証明は難しくありません。

 しかし、間違える人が続出しそうな問題でもあります。

しっかり解けるようにしましょう。

 

◎C問題採用校受験予定の方

この問題は多くの人が解けると思います。

しかし、中には正解と思っていても間違っている可能性がある問題です。

余裕で解ける人は、多くの人がどんな間違いをするのか考えてみましょう。

 

 大問4の1

2018山形4





1

さて、どのように証明していきましょうか。

 

今回は相似の証明なので

・3辺の比がそれぞれ等しい

・2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

・2組の角がそれぞれ等しい

のいずれか相似条件が言えればいいわけです。

 

 

証明問題を解いていく上で、どの相似条件を使うのかを予想しながら解いていくことが重要になってきます。

 

今回の問題文を見ていきます。

 

2018山形4

問題文

 

 

まず、辺の長さについて全く書いておりません。

これにより、

「2組の角がそれぞれ等しい」

という相似条件を言えばいいかもしれないと予想しましょう。

 

また、問題文に赤と青のマーカー部分に注目してください。

「折り返し」と「平行」と書いてありますね。

 

この2つは、

・折り返し→角度が等しい場所がある

・平行→錯覚か同位角の場所がある

ということがそれぞれ言えます。

 

 

このことからも、今回使う相似条件は

「2組の角がそれぞれ等しい」

である可能性がかなり高くなりますね。

 

では、ここから実際に問題を解いていきましょう。

今回証明するのは、三角形ABCと三角形FBAが相似であることです。

 

まず、この部分を分かりやすくするために太線で囲みましょう。

イメージ図

相似部分を分かりやすくするために太線を引く

 

 

こうすることによって見やすくなりましたね。

実際、問題を解くときは黒しか使えないので、太く書いたり、波線を書いたりして工夫してください。

 

 

そして、この図から分かることが1つありますね。

それは共通の角があるということです。

イメージ図

共通の角度

赤の2重線のところですね。

 

ここからとても大事なところに入っていきます。

少し前に、問題文で注目したところがありましたね。

「折り返し」と「平行」です。

 

 

まず、折り返しを見ていきましょう。

折り返しは等しい角度があるんでしたよね?

 

イメージ図

折り返し→等しい角度の場所がある

青の●印のところですね。

折り返しただけですから、同じ角度になるのは当たり前ですよね。

 

 

次は、平行を見ていきましょう。

平行は錯覚か同位角の場所があるんでしたね?

 

平行→錯角を見つける

今回は、錯角がありました。

錯角はぜぇぇぇっっっっとぉぉぉ(Z)を見つけてください笑

いろんな生徒に教えていると、これが一番反応がいいですね!

集団授業だと盛り上がるところです笑

 

 

これによって、新たに等しい角度が見つかりましたね。

分かりましたか??

 

では、等しくなった角度を見ていきましょう。

 

イメージ図

等しい角度が見つかった!

「折り返し」と「錯角」で等しいところ組み合わせると、新しく角度が等しい場所が見つかりました。

 

この問題では、ここに気付くかが一番大事なところでしたね。

 

 

以上により、

赤の2重線と青の●印の角度が等しくなるので、

「2組の角がそれぞれ等しい」

という相似条件を満たすことができました。

 

よって、三角形ABCと三角形FBAが相似であることが証明されました。

 

 

よくある間違い

絶対にやってはいけないミスを紹介したいと思います。

おそらく入試当日にこのミスをした子もいたでしょう。

 

そのミスとは一体何か?

ちょっと考えてみてください。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

考えました?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分かりました?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

こういうことを考えることがミスを減らす一番の近道です。

そのミスはこちら。

 

イメージ図

直角の角度が等しく見える・・・、しかし・・・

直角が等しいってことなんですが、

これって何がダメか分かりますか??

 

 

 

結構多くの生徒が間違えると思います。

 

 

多くの生徒はこう言うでしょう。

「え、だって、同じ角度に見えるじゃん」

 

 

 

この言葉怖いですよね・・・

 

何が怖いかってこの言葉ですよ。

「同じ角度に見えるじゃん」

「同じ角度に見える」

「同じ角度に見える 

 

 

うーん、見えるって言うのは

「あなたの主観ですよね?笑」

 

もう一度問題文を見てみましょう。

問題文の中に直角が等しくなる条件ある??

 

 

直角の部分が等しくなるってどこにも書いてないんですよね。

書いていないものを勝手に使うのはダメなんです。

それが数学です。

使うのは理由が必要なんです。

 

 

きっと多くの受験生は理由なしに直角が等しいことを使ったはずです。

もちろん、理由を説明したら正解になります。実際はそれぞれ直角になりますしね。

でも、直角だってことは書いていないので理由が必要です。

 

この間違いの怖いところは、

「正解だ」って確信していて、「実は、間違い」ってところですね。

 

こういう間違いを当日防ぐために

入試前に必ず解いてほしい問題に入れたい問題ですね。 

 

 

 

今回は山形県の公立高校入試大問4の1をお伝えしました。

大問 4の2の解き方の流れは、次回にしたいと思います。

 

 

これから少しずつ公開していきますので、参考になる方が1人でもいれば嬉しいです。

 

 

数ある中の1つの意見として読んでいただければと思います。

 

 

最後まで読んでいただきありがとうございました。